Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d，当x=-3和x=1时，f（x）取得极值．
（1）求b，c的值；
（2）若对任意x∈[-4，2]，都有f（x）≥-6d²成立，试求d的取值范围．

Answer

（1）若函数f（x）在一点取极值，则函数在此点的导数值为0，且在两侧的导数值符号相反．
（2）若在此区间上不等式恒成立，只需要最小值大于-6d2即可．利用导数确定函数的单调性，并利用单调性确定在此区间上的最小值．∈
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2bx+c，（2分）
∵当x=-3和x=1时，f（x）取得极值．∴f′（3）=0，f′（1）=0，（4分）
，解得，b=3，c=-9．（6分）
（2）由（1）知f（x）=x3+3x2-9x+d，
f′（x）=3x2+6x-9  f′（x）＞0，3x2+6x-9＞0，解得 x＜-3或x＞1，
∵x∈[-4，2]∴f（x）的增减区间、极值、端点值情况如下表：

x -4 （-4，-3） -3 （-3，1） 1 （1，2） 2
f′（x） + - +
f（x） 20+d 递增 极大值27+d 递减 极小值d-5 递增 2+d

对任x∈[-4，2]，都有f（x）≥-6d2成立，只需f（x）在[-4，2]上的最小值f（x）min≥-6d2．
∴d的取值应满（12分）
解不等式组得，d≤-1或d≥，
∴d的取值范围是（-∞，-1）∪[，+∞）（14分）