Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁上的点、F为DB的中点．
（Ⅰ）求直线B₁F与平面CDD₁C₁所成角的正弦值；
（Ⅱ）若直线EF∥平面ABC₁D₁，试确定点E的位置．

Answer

（Ⅰ）要求B1F与平面CDD1C1所成角，由平面ABB1A1∥平面CDD1C1，可转化为直线B1F与平面CDD1C1所成角，由F为DB的中点考虑取AB中点P，由已知可得FP⊥AB，FP⊥BB1，故FP⊥平面ABB1A1，B1F与平面ABB1A1所成的角即为∠FB1P，在Rt△FPB1中求解即可
（Ⅱ）由题意可得平面BDD1B1过EF与平面ABC1D1交于BD1，由EF∥平面ABC1D1，根据线面平行的性质定理可得可得EF∥BD1，由F为DB的中点可得得E也必须为DD1的中点
【解析】
（Ⅰ）∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1
∴直线B1F与平面CDD1C1所成角等于直线FB1与平面ABB1A1所成的角（2分）
取AB中点P，连接FP和B1P
由已知可得FP⊥AB，FP⊥BB1，故FP⊥平面ABB1A1
∴B1F与平面ABB1A1所成的角即为∠FB1P（4分）
在Rt△FPB1中，
即B1F与平面CDD1C1所成角的正弦值为．（6分）
（Ⅱ）连接BD1，则平面BDD1B1过EF与平面ABC1D1交于BD1
由EF∥平面ABC1D1可得EF∥BD1
又因为F为DB的中点
故得E也必须为DD1的中点．（12分）