Question

已知数列a_n、b_n中，对任何正整数n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2．
（1）若数列a_n是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列b_n是等比数列；
（2）若数列b_n是等比数列，数列a_n是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；
（3）若数列a_n是等差数列，数列b_n是等比数列，求证：．

Answer

（1）先求an=n，代入已知可得bn+2bn-1+3bn-2+…+（n-1）b2+nb1=2n+1-n-2，则bn-1+2bn-2+3bn-3+…+（n-2）b2+（n-1）b1=2n-n-1（n≥2）两式相减可求数列bn
（2）同（1）可得，结合q的取值及等差数列的通项公式可求
（3）利用放缩不等式可证
【解析】
（1）依题意数列an的通项公式是an=n，
故等式即为bn+2bn-1+3bn-2+…+（n-1）b2+nb1=2n+1-n-2，bn-1+2bn-2+3bn-3+…+（n-2）b2+（n-1）b1=2n-n-1（n≥2），
两式相减可得bn+bn-1+…+b2+b1=2n-1（3分）
得bn=2n-1，数列bn是首项为1，公比为2的等比数列．（4分）
（2）设等比数列bn的首项为b，公比为q，则bn=bqn-1，从而有：bqn-1a1+bqn-2a2+bqn-3a3+…+bqan-1+ban=2n+1-n-2，
又bqn-2a1+bqn-3a2+bqn-4a3+…+ban-1=2n-n-1（n≥2），
故（2n-n-1）q+ban=2n+1-n-2（6分）
，
要使an+1-an是与n无关的常数，必需q=2（8分）
即①当等比数列bn的公比q=2时，数列an是等差数列，其通项公式是；
②当等比数列bn的公比不是2时，数列an不是等差数列．（9分）
（3）由（2）知anbn=n•2n-1，（10分）
显然n=1，2时
当n≥3时
＜（14分）
==（16分）