Question

如图，椭圆短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l：y=kx+1与x轴、y轴分别交于两点E，F，与椭圆交于两点C，D．
（Ⅰ）若，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线AD，CB的斜率分别为k₁，k₂，若k₁：k₂=2：1，求k的值．

Answer

（Ⅰ）设C（x1，y1），D（x2，y2），由得（4+k2）x2+2kx-3=0，再由判别式和根与系数的关系可推导出所求直线l的方程为2x-y+1=0或2x+y-1=0．
（Ⅱ）由题设知y12=4（1-x12），y22=4（1-x22），由此推出3x1x2+5（x1+x2）+3=0，所以3k2-10k+3=0，由此可推导出k的值．
【解析】
（Ⅰ）设C（x1，y1），D（x2，y2），
由得（4+k2）x2+2kx-3=0，
△=4k2+12（4+k2）=16k2+48，，，（2分）
由已知，
又，所以（4分）
所以，即，（5分）
所以，解得k=±2，（6分）
符合题意，
所以，所求直线l的方程为2x-y+1=0或2x+y-1=0．（7分）
（Ⅱ），，k1：k2=2：1，
所以，（8分）
平方得，（9分）
又，所以y12=4（1-x12），同理y22=4（1-x22），代入上式，
计算得，即3x1x2+5（x1+x2）+3=0，（12分）
所以3k2-10k+3=0，解得k=3或，（13分）
因为，x1，x2∈（-1，1），所以y1，y2异号，故舍去，
所以k=3．（14分）