Question

已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证[（n+1）！]²＞（n+1）•e^n-2（n∈N^*）．

Answer

（Ⅰ）求出函数的极值，在探讨函数在区间（其中a＞0）上存在极值，寻找关于a的不等式，求出
实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，把k分离出来，转化为求函数最值．
（Ⅲ）借助于（Ⅱ）的结论证明不等式．
【解析】
（Ⅰ）因为，x＞0，则，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值．
因为函数f（x）在区间（其中a＞0）上存在极值，
所以，解得．
（Ⅱ）不等式，
即为，记，
所以，
令h（x）=x-lnx，则，∵x≥1，∴h′（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，
从而g′（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
∴[g（x）]min=g（1）=2，所以k≤2
（3）由（2）知：恒成立，
即，
令x=n（n+1），则，
所以，
，，
．
叠加得：ln[1×22×32×
=
则1×22×32×n2×（n+1）＞en-2，
所以[（n+1）！]2＞（n+1）•en-2（n∈N*）