Question

数列{a_n}满足的前n项和S_n=2n-a_n，n∈N^*
（1）计算数列{a_n}的前4项；
（2）猜想a_n的表达式，并证明；
（3）求数列{n•a_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）令n=1、2、3、4，再利用公式Sn=2n-an可以直接求出出数列{an}的前4项，
（2）根据an=Sn-Sn-1可得an=2-an+an-1即：an=an-1+2，然后整理得an-2=（an-2），进而求出an的通项公式，
（3）首先求出数列{n•an}的数列表达式，然后等差数列求和公式求出数列{2n}的前n项和，再利用错位相减法求出数列{}的前n项和，进而求出数列{n•an}的前n项和Tn．
【解析】
（1）计算得：．（3分）
（2）∵sn=2n-an当n≥2时
∴sn-1=2（n-1）-an-1两式相减可得：an=2-an+an-1即：
∵
所以，数列{an-2}是首项为a1-2=-1公比为的等比数列
∵
即（7分）
当n=1时，a1=1，
∴，
（3）因为
设数列的前n项和为MnMn
=+++
=+++
两式相减可得：=++++-
=-=-
=2-Mn
=4-（12分）