Question

已知椭圆=1，点P为其上一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，Q为射线F₁P延长线上一点，且|PQ|=|PF₂|，设R为F₂Q的中点．
（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
（2）设点R形成的曲线为C，直线l：y=k（x+4）与曲线C相交于A、B两点，若∠AOB=90°时，求k的值．

Answer

（1）F1（-2，0），F2（2，0）设R（x，y），Q（x1，y1）．由|PQ|=|PF2|，知|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=8，所以（x1+2）2+y12=64，由此能导出R的轨迹方程．
（2）当∠AOB=90°时，在Rt△AOC中，∠AOC=45°，此时弦心距|OC|=，又|OC|=．由此能导出k的值．
【解析】
（1）F1（-2，0），F2（2，0）设R（x，y），Q（x1，y1）．∵|PQ|=|PF2|，
∴|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=8，则（x1+2）2+y12=64．（4分）
又得x1=2x-2，y1=2y．
∴（2x）2+（2y）2=64，故R的轨迹方程为：x2+y2=16（7分）
（2）如图，当∠AOB=90°时，
在Rt△AOC中，∠AOC=45°，此时弦心距|OC|=
又|OC|=．由=得．（12分）