Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n+（n-2）（n-1）（n∈N^*）
（1）是否存在常数p，q，r，使数列{a_n+pn²+qn+r}是等比数列，若存在求出p，q，r的值；若不存在，说明理由；
（2）设数列{b_n}满足，证明：．

Answer

（1）假设存在，利用等比的性质建立方程，根据同一性求参数的值，若求出说明存在，否则说明不存在；
（2）由（1）求出数列{an}表达式，代入求出数列{bn}的通项，利用放大法得到代入不等式左边化简整理证得结论．
【解析】
（1）设an+1+p（n+1）2+q（n+1）+r=2（an+pn2+qn+r）
∴an+1=2an+pn2+（q-2p）n+r-p-q
由an+1=2an+n2-3n+2∴p=1，q=-1，r=2.4分
∴{an+n2-n+2}是以首项为4，公比为2的等比数列．6分
（2）∵an+n2-n+2=4•2n-1=2n+17′
∴9分
∴n=1时，10′=
综上：b1+b2+b3++bn12分