Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，a_n+2=4a_n+1-4a_n（n∈N*）．
（1）求证：数列{a_n+1-2a_n}成等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）将已知的递推关系变形，利用等比数列的定义，证得数列{an+1-2an}成等比数列．
（2）利用等比数列的通项公式求出an+1-2an=2n-1，两边同时除以2n+1，利用等差数列的定义得到为等差数列，利用等差数列的通项公式求出数列{an}的通项公式．
【解析】
（1）∵an+2=4an+1-4an
∴an+2-2an+1=2an+1-4an=2（an+1-an）
又a2-2a1=1
即
∴数列{an+1-2an}是以1为 首项，2为公比的等比数列
（2）由（1）知an+1-2an=2n-1
∴
又
∴
∴an=（n+1）2n-2