Question

椭圆的离心率为，且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m与椭圆C交于两点A，B，O为坐标原点，若△OAB为直角三角形，求m的值．

Answer

（Ⅰ）根据离心率和（2，0）点代入椭圆方程进而可求得a和c，进而求得b，方程可得．
（2）把直线与椭圆联立，消去y，根据判别式大于0，进而可求得m的范围．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），当∠AOB为直角时，根据，、求得m；当∠OAB或∠OBA为直角时，不妨设∠OAB为直角，由直线l的斜率为1，可得直线OA的斜率为-1，可得x1和y1的关系进而求得x1和m．
【解析】
（Ⅰ）由已知，，
所以a=2，，
又a2=b2+c2，所以b=1，
所以椭圆C的方程为；．
（Ⅱ）联立，
消去y得5x2+8mx+4m2-4=0，△=64m2-80（m2-1）=-16m2+80，
令△＞0，即-16m2+80＞0，解得．
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
（ⅰ）当∠AOB为直角时，
则，
因为∠AOB为直角，所以，即x1x2+y1y2=0，
所以2x1x2+m（x1+x2）+m2=0，
所以，解得．
（ⅱ）当∠OAB或∠OBA为直角时，不妨设∠OAB为直角，
由直线l的斜率为1，可得直线OA的斜率为-1，
所以，即y1=-x1，
又；，
所以；，，，
经检验，所求m值均符合题意，综上，m的值为和．