Question

已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，
（I）求a，b的值；
（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（I）设F（c，0），则直线l的方程为x-y-c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．
（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．
【解析】
（I）设F（c，0），直线l：x-y-c=0，
由坐标原点O到l的距离为
则，解得c=1
又
（II）由（I）知椭圆的方程为
设A（x1，y1）、B（x2，y2）
由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1
代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my-4=0，显然△＞0．
由韦达定理有：，，①
假设存在点P，使成立，则其充要条件为：
点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），
点P在椭圆上，即．
整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．
又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、
故2x1x2+3y1y2+3=0②
将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得
∴，
x1+x2=，即
当；
当