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设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆,(a>b>0)上的两点,已知向量=(...

设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆manfen5.com 满分网,(a>b>0)上的两点,已知向量manfen5.com 满分网=(manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网),manfen5.com 满分网=(manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网),且manfen5.com 满分网,若椭圆的离心率manfen5.com 满分网,短轴长为2,O为坐标原点:
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距),求直线AB的斜率k的值;
(Ⅲ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
(Ⅰ)根据题意可求得b,进而根据离心率求得a和c,则椭圆的方程可得. (Ⅱ)设出直线AB的方程,与椭圆方程联立消去y,表示出x1+x2和x1x2,利用建立方程求得k. (Ⅲ)先看当直线的斜率不存在时,可推断出x1=x2,y1=-y2,根据=0求得x1和y1的关系式,代入椭圆的方程求得|x1|和|y1|求得三角形的面积;再看当直线斜率存在时,设出直线AB的方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2,利用=0求得2b2-k2=4,最后利用弦长公式和三角形面积公式求得答案. 【解析】 (Ⅰ)2b=2.b=1,e= 椭圆的方程为 (Ⅱ)由题意,设AB的方程为y=kx+ 由已知=0得: = ,解得k=± (Ⅲ)(1)当直线AB斜率不存时,即x1=x2,y1=-y2, 由=0,则 又A(x1,y1)在椭圆上,所以 S= 所以三角形的面积为定值 (2)当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx+b 得到x1+x2= 代入整理得: 2b2-k2=4 = 所以三角形的面积为定值
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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