Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=（3n+S_n） 对一切正整数n成立
（I）求出数列{a_n}的通项公式；
（II）设，求数列{b_n}的前n项和B_n．

Answer

（I）由已知得Sn=2an-3n，Sn+1=2an+1-3（n+1），所以an+1=2an+3，3+an+1=2（3+an），由此能求出an．
（II）bn=n（2n-1）=n2n-n，设Tn=1×2+2×22+3×23++n×2n（1），2Tn=1×22+2×23++（n-1）2n+n×2n+1，Tn=-（2+22+23+…+2n）+n2n+1=，由此能求出数列{bn}的前n项和Bn．
【解析】
（I）由已知得Sn=2an-3n，
Sn+1=2an+1-3（n+1），两式相减并整理得：an+1=2an+3（2分）
所以3+an+1=2（3+an），又a1=S1=2a1-3，a1=3可知3+a1=6≠0，
进而可知an+3≠0
所以，
故数列{3+an}是首相为6，公比为2的等比数列，
所以3+an=6•2n-1，即an=3（2n-1）（6分）
（II）bn=n（2n-1）=n2n-n
设Tn=1×2+2×22+3×23++n×2n（1），
2Tn=1×22+2×23++（n-1）2n+n×2n+1（2）
由（2）-（1）得Tn=-（2+22+23+…+2n）+n2n+1=，
∴（12分）