Question

已知函数f（x）=x³-3ax²-bx，其中a，b为实数，
（1）若f（x）在x=1处取得的极值为2，求a，b的值；
（2）若f（x）在区间[-1，2]上为减函数，且b=9a，求a的取值范围．

Answer

（1）根据f（x）在x=1处取得的极值为2，可建立关于a，b的两个等式关系，解方程组即可．
（2）由f（x）在区间[-1，2]上为减函数，可转化成f'（x）≤0对x∈[-1，2]恒成立，借助二次函数的知识建立不等关系，可求出a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题设可知：f'（1）=0且f（1）=2，
即，
解得．；
（Ⅱ）∵f'（x）=3x2-6ax-b=3x2-6ax-9a，
又f（x）在[-1，2]上为减函数，
∴f'（x）≤0对x∈[-1，2]恒成立，
即3x2-6ax-9a≤0对x∈[-1，2]恒成立，
∴f'（-1）≤0且f′（2）≤0，
即，
∴a的取值范围是a≥1．