Question

在平面直角坐标系xOy中，已知以O为圆心的圆与直线l：y=mx+（3-4m），（m∈R）恒有公共点，且要求使圆O的面积最小．
（1）写出圆O的方程；
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使、、成等比数列，求的范围；
（3）已知定点Q（-4，3），直线l与圆O交于M、N两点，试判断是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l的方程，若不存在，给出理由．

Answer

（1）依题意可知直线过定点，要求使圆O的面积最小，则定点在圆上，求出半径即可求圆的方程．
（2）求出A、B两点的坐标，设P的坐标，、、成等比数列，得到相等关系式，P在圆内，得到不等式，可求数量积的范围．
（3）依题意表示，得到等价关系即三角形面积，容易确定圆上的点到已知线段的最大距离．可求出直线l的方程．
【解析】
（1）因为直线l：y=mx+（3-4m）过定点T（4，3）
由题意，要使圆O的面积最小，定点T（4，3）在圆上，
所以圆O的方程为x2+y2=25．
（2）A（-5，0），B（5，0），设P（x，y），则x2+y2＜25   ①，，
由成等比数列得，，
即，整理得：，即②
由①②得：，，∴
（3）
=．
由题意，得直线l与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（-4，3），
直线lMQ：y=3，|MQ|=8，则当N（0，-5）时S△MQN有最大值32．
即有最大值为64，
此时直线l的方程为2x-y-5=0．