Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，点P在平面BCC₁B₁内，．
（1）求证：PA₁⊥BC；
（2）求二面角C₁-PA₁-A．

Answer

（1）要证直线与直线垂直，首先把一个直线放到一个已知平面上，根据直线与平面垂直的判定定理做出线与面垂直，进而证得线与线垂直．
（2）以点D1为坐标原点，D1B1，D1A1，D1P所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系D1-xyz，平面PAA1所在平面为坐标平面yOz，取平面PAA1的一个法向量，根据两个向量之间的夹角得到二面角的大小．
【解析】
（1）证明：设B1C1的中点为D1，∵PB1=PC1，∴PD1⊥B1C1，
又∵△A1B1C1是正三角形，∴A1D1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面PA1D1，
∴PA1⊥B1C1，
又∵BC∥B1C1，∴PA1⊥BC；
（2）∵平面PB1BCC1⊥平面A1B1C1，∴PD1⊥平面A1B1C1，
又∵AA1⊥平面A1B1C1，∴A，A1，P，D1四点共面，
如图，以点D1为坐标原点，D1B1，D1A1，D1P所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系D1-xyz，
平面PAA1所在平面为坐标平面yOz，取平面PAA1的一个法向量
由得到PD1=1，
由A1B1=B1C1=C1A1=2得到，
点P的坐标为（0，0，1），点A1的坐标为，
点C1的坐标为（-1，0，0），
设平面PC1A1的法向量为，
则，所以，所以x=-z，
令y=1，则，
，
即所求二面角是．