Question

定义在[-1，1]上的奇函数，已知当x∈[-1，0]时的解析式
（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer

（1）由函数f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，其图象经过坐标原点，则根据x∈[-1，0]时的解析式，构造关于a的方程，再结合奇函数的性质，求出函数f（x）在[0，1]上的解析式．
（2）根据（1）中函数的解析式，我们用换元法可将函数的解析式，转化为一个二次函数的形式，我们分析出函数的单调性，进而求出f（x）在[0，1]上的最大值．
【解析】
（1）∵函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
又∵
∴=1-a=0
解得a=1
即当x∈[-1，0]时的解析式
当x∈[0，1]时，-x∈[-1，0]
∴=4x-2x=-f（x）
∴f（x）=2x-4x（x∈[0，1]）
（2）由（1）得当x∈[0，1]时，f（x）=2x-4x
令t=2x（t∈[1，2]）
则2x-4x=t-t2，
令y=t-t2（t∈[1，2]）
则易得当t=1时，y有最大值0
f（x）在[0，1]上的最大值为0