Question

已知函数
（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）的最小值为-3，求实数k的取值范围；
（3）若对于任意的x₁、x₂、x₃，均存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．

Answer

（1）换元，将f（x）解析式的分子分母转化为二次式，因为分母恒大于0，所以只需分子大于0，分离参数，利用均值不等式与不等式的性质得出右边式子的最大值，可得实数k的取值范围；
（2）将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由k-1的符号决定，故分为三类讨论，得出整个式子的取值范围，若有最小值，令其等于-3，求出实数k的取值范围；
（3）三条线段构成三角形的条件为两边之和大于第三边，得出f（x1）+f（x2）＞f（x3）的不等式，由（2）知，f（x1）、f（x2）、f（x3）在三种不同情况下的范围，与（2）同样，分三种情况进行讨论，转化为f（x1）+f（x2）的最小值与f（x3）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围．
【解析】
（1）设t=2x，则y=（t＞0），
∵y＞0恒成立，∴t＞0时，t2+kt+1＞0恒成立，
即t＞0时，k＞-（t+）恒成立，
∵t＞0时，t+≥2，∴-（t+）≤-2，
当t=，即t=1时，-（t+）有最大值为-2，
∴k＞-2；
（2）f（x）==1+，
令t=2x++1≥3，则y=1+（t≥3），
当k-1＞0，即k＞1时，y∈（1，]，无最小值，舍去；
当k-1=0，即k=1时，y∈{1}，最小值不是-3，舍去；
当k-1＜0，即k＜1时，y∈[，1），
最小值为=-3得k=-11；
综上k=-11．
（3）因对任意实数x1、x2、x3，都存在以f（x1）、f（x2）、f（x3）为三边长的三角形，故f（x1）+f（x2）＞f（x3）对任意的x1、x2、x3∈R恒成立．
当k＞1时，∵2＜f（x1）+f（x2）≤且1＜f（x3）≤，故≤2，∴1＜k≤4；
当k=1时，∵f（x1）=f（x2）=f（x3）=1，满足条件；
当k＜1时，∵≤f（x1）+f（x2）＜2，且≤f（x3）＜1，故≥1，∴-≤k＜1；
综上所述：-≤k≤4．