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与向量、圆交汇.例5:已知F1、F2分别为椭圆C1manfen5.com 满分网的上、下焦点,其中F1也是抛物线C2:x2=4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且manfen5.com 满分网
(1)求椭圆C1的方程;
(2)已知点P(1,3)和圆O:x2+y2=b2,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A,B,在线段AB上取一点Q,满足:manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网,(λ≠0且λ≠±1).问点Q是否总在某一定直线上?若在,求出这条直线,否则,说明理由.

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(1)由抛物线C2的定义得y,进而得点M的坐标,代入椭圆的方程可得a,b的值; (2)由设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),由可得:(1-x1,3-y1)=-λ(x2-1,y2-3). 【解析】 (1)由C2:x2=4y知F1(0,1),设M(x,y)(x<0),因M在抛物线C2上, 故x2=4y① 又,则②,由①②解得,.而点M椭圆上, 故有,即③,又c=1,则b2=a2-1④ 由③④可解得a2=4,b2=3,∴椭圆C1的方程为. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y), 由可得:(1-x1,3-y1)=-λ(x2-1,y2-3),即 由可得:(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),即 ⑤×⑦得:x12-λ2x22=(1-λ2)x,⑥×⑧得:y12-λ2y22=3y(1-λ2) 两式相加得(x12+y12)-λ2(x22+y22)=(1-λ2)(x+3y) 又点A,B在圆x2+y2=3上,且λ≠±1,所以x12+y12=3,x22+y22=3 即x+3y=3,∴点Q总在定直线x+3y=3上.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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