Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足．
（I）判断f（x）的单调性和奇偶性；
（II）是否存在这样的实数m，当时，不等式
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（I）先求得f（x），令x=y=0，有f（0）=0，再令x1=x，x2=-x，即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．在R上任取x1＜x2，则x1-x2＜0，再比较f（x1）和f（x2）的大小，从而得出：f（x）是增函数；
（II）要使，
只须＞-f（3+2m）=f（-3-2m）
再根据f（x）为单调增函数有，
令t=sinθ+cosθ，原命题等价于恒成立从而证得原命题成立．
【解析】
（I）令x=y=0，有f（0）=0，令x1=x，x2=-x，
有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．（2分）
在R上任取x1＜x2，则x1-x2＜0，
由题意知f（x1-x2）＜0，
则f（x1-x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）＜0，
故f（x）是增函数（6分）
（II）要使，
只须＞-f（3+2m）=f（-3-2m）
又由f（x）为单调增函数有（8分）
令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t2-1，∵，∴，
原命题等价于恒成立．（10分）

当，
故上为减函数，∴m＞3时，原命题成立．（12分）