Question

如图，现在要在一块半径为1m．圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP=θ．平行四边形MNPQ的面积为S．
（1）求S关于θ的函数关系式；
（2）求S的最大值及相应θ的值．

Answer

（1）根据题设条件合理建立方程，从而导出S关于θ的函数关系式．
（2）利用三角函数求出S的最大值及相应θ的值．
【解析】
①分别过点P、Q作PD⊥OB，QE⊥OB，垂足分别为D、E，则四边形QEDP是矩形．
PD=sinθ，OD=cosθ．
在Rt△OEQ中，∠AOB=，
则OE=QE=PD．
所以MN=PQ=DE=OD-OE=cosθ-sinθ．
则S=MN×PD=（cosθ-sinθ）×sinθ=sinθcosθ-sin2θ，θ∈（0，）．
（2）S=sin2θ-（1-cos2θ）=sin2θ+cos2θ-=sin（2θ+）-．
因为0＜θ＜，所以＜2θ+＜，
所以＜sin（2θ+）≤1．所以当2θ+=，即θ=时，S的值最大为m2．
即S的最大值是m2，相应θ的值是．