Question

已知函数f（x）=ax--2lnx，f（1）=0若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且a_n+1=f′（）-na_n+1，若a₁≥3，求证：a_n≥n+2

Answer

先利用导数的几何意义求出数列的递推公式，再证之．
【解析】
x＞0，f（1）=a-b=0，∴a=b，f′（x）=a+-，
∵函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，
∴f′（1）=0，即a+a-2=0，解得 a=1
∴f′（x）=，an+1=an2-nan+1
下面用数学归纳法证明：
（Ⅰ） 当n=1，a1≥3=1+2，不等式成立；
（Ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即：ak≥k+2，
ak-k≥2＞0，
∴ak+1=ak（ak-k ）+1≥2（k+2）+1=（ k+3）+k+2＞k+3
也就是说，当n=k+1时，ak+1≥（k+1）+2成立
根据（Ⅰ）（Ⅱ）对于所有n≥1，都有an≥n+2成立