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已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l...

已知圆M的方程为x2+(y-2)2=1,直线l的方程为x-2y=0,点P在直线l上,过P点作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
(1)若∠APB=60°,试求点P的坐标;
(2)若P点的坐标为(2,1),过P作直线与圆M交于C,D两点,当manfen5.com 满分网时,求直线CD的方程;
(3)求证:经过A,P,M三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
(1)设P(2m,m),代入圆方程,解得m,进而可知点P的坐标. (2)设直线CD的方程为:y-1=k(x-2),由圆心M到直线CD的距离求得k,则直线方程可得. (3)设P(2m,m),MP的中点,因为PA是圆M的切线,进而可知经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,以MQ为半径的圆,进而得到该圆的方程,根据其方程是关于m的恒等式,进而可求得x和y,得到经过A,P,M三点的圆必过定点的坐标. 【解析】 (1)设P(2m,m),由题可知MP=2,所以(2m)2+(m-2)2=4, 解之得:, 故所求点P的坐标为P(0,0)或. (2)设直线CD的方程为:y-1=k(x-2),易知k存在, 由题知圆心M到直线CD的距离为,所以, 解得,k=-1或,故所求直线CD的方程为:x+y-3=0或x+7y-9=0. (3)设P(2m,m),MP的中点, 因为PA是圆M的切线,所以经过A,P,M三点的圆是以Q为圆心,以MQ为半径的圆, 故其方程为: 化简得:x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于m的恒等式, 故x2+y2-2y=0且(2x+y-2)=0, 解得或 所以经过A,P,M三点的圆必过定点(0,2)或(,).
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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