(1)为证AC⊥平面BB1C1C,须证AC垂直面内两条相交直线:BB1和BC即可.前者易证,后者利用计算方法证明即可.
(2)设P为A1B1的中点,证明DCB1P为平行四边形,即可证明存在点P,满足题意.
证明:(1)直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥AC.(2分)
又∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2,
∴,∠CAB=45°,∴,∴BC⊥AC.(4分)
又BB1∩BC=B,BB1,BC⊂平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C.(7分)
(2)存在点P,P为A1B1的中点.(8分)
证明:由P为A1B1的中点,有PB1‖AB,且PB1=AB.(10分)
又∵DC‖AB,DC=AB,∴DC∥PB1,且DC=PB1,
∴DCB1P为平行四边形,从而CB1∥DP.
又CB1⊂面ACB1,DP⊄面ACB1,∴DP‖面ACB1.(12分)
同理,DP‖面BCB1.(14分)