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如图,直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠A...

manfen5.com 满分网如图,直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°AB=2AD=2CD=2.
(1)求证:AC⊥平面BB1C1C;
(2)在A1B1上是否存一点P,使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行?证明你的结论.
(1)为证AC⊥平面BB1C1C,须证AC垂直面内两条相交直线:BB1和BC即可.前者易证,后者利用计算方法证明即可. (2)设P为A1B1的中点,证明DCB1P为平行四边形,即可证明存在点P,满足题意. 证明:(1)直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥AC.(2分) 又∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2, ∴,∠CAB=45°,∴,∴BC⊥AC.(4分) 又BB1∩BC=B,BB1,BC⊂平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C.(7分) (2)存在点P,P为A1B1的中点.(8分) 证明:由P为A1B1的中点,有PB1‖AB,且PB1=AB.(10分) 又∵DC‖AB,DC=AB,∴DC∥PB1,且DC=PB1, ∴DCB1P为平行四边形,从而CB1∥DP. 又CB1⊂面ACB1,DP⊄面ACB1,∴DP‖面ACB1.(12分) 同理,DP‖面BCB1.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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