Question

已知函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer

（1）由ax-1＞0，得ax＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域；
（2）先对a值进行分类讨论：当a＞1时，当0＜a＜1时，再任取x1、x2属于集合范围之内，结合函数的单调性的定义讨论函数f（x）的单调性．
【解析】
（1）由ax-1＞0，得ax＞1．（1分）
当a＞1时，x＞0；（2分）
当0＜a＜1时，x＜0．（3分）
所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（-∞，0）．（4分）
（2）当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，（5分）
则，所以．（6分）
因为a＞1，所以，即f（x1）＜f（x2）．（8分）
故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．（9分）
当0＜a＜1时，任取x1、x2∈（-∞，0），且x1＜x2，（10分）
则，所以．（11分）
因为0＜a＜1，所以，即f（x1）＜f（x2）．（13分）
故当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，0）上也是增函数．（14分）