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如图,有一块半径为2的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB...

如图,有一块半径为2的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是圆O的直径,上底CD的端点在圆周上.
(1)求梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式,并求出它的定义域;
(2)求梯形ABCD的周长y的最大值.

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(1)作DE⊥AB于E,连接BD,根据相似关系求出AE,而CD=AB-2AE,从而求出梯形ABCD的周长y与腰长x间的函数解析式,根据AD>0,AE>0,CD>0可求出定义域; (2)利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值. 【解析】 (1)如图,作DE⊥AB于E,连接BD. 因为AB为直径,所以∠ADB=90°.(1分) 在Rt△ADB与Rt△AED中,∠ADB=90°=∠AED,∠BAD=∠DAE, 所以Rt△ADB∽Rt△AED.(3分) 所以,即. 又AD=x,AB=4,所以.(5分) 所以,(6分) 于是(7分) 由于AD>0,AE>0,CD>0,所以, 解得.(9分) 故所求的函数为.(10分) (2)因为,(12分) 又,所以,当x=2时,y有最大值10.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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