Question

矩形ABCD中，AB=2，AD=，H是AB中点，以H为直角顶点作矩形的内接直角三角形HEF，其中E，F分别落在线段BC和线段AD上，如图．记∠BHE为θ，记Rt△EHF的周长为l．
（1）试将l表示为θ的函数；
（2）求l的最小值及此时的θ．

Answer

（1）利用EHF是直角三角形，求得∠AFH，进而利用H是AB中点分别求得FH，EH，进而求得=1，进而推断出当F与D重合时，θ取到最小值，当E与C重合时，θ取到最大值，进而求得l的函数解析式及定义域．
（2）sinθ+cosθ=t，代入l的解析式中，利用θ的范围判断出t的范围，进而求得l的最小值和此时θ的值．
【解析】
（1）∵△EHF是直角三角形，∠BHE=θ，
∴∠AFH=θ，∵AB=2，H是AB中点，
∴AH=FHsinθ=1，FH=，同理EH=，
∴l=FH+EH+EF=++=，
当F与D重合时，θ取到最小值，当E与C重合时，θ取到最大值，
∴θ∈[，]，∴l=（θ∈[，]）；
（2）令sinθ+cosθ=t，则sinθcosθ=，∴l==，
∵θ∈[，]，∴θ+∈[，]，t=sin（θ+）∈[，]，
∴当t=时，即θ=时，l取到最小值=2（+1）．t2