Question

已知命题（1）∃α∈R，使sinαcosα=1成立；（2）∃α∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ成立；（3）∀α∈R，都有成立．其中正确命题的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

Answer

本题考查的知识点是全称量词和特称（存在）量词，（1）则二倍角公式我们可将sinαcosα化为sin2α，结合正弦型函数的值域，我们易得sin2α的值为为：[-，]，判断其与1的关系，易得结论；（3）中要说明存在命题，∃α∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ成立，我们只要举出一个例子即可，令α=β=0显然满足要求；（3）中，要说明一个全称命题不正确，我们要举出一个反例，根据正切函数的定义域，我们易举出反例．
【解析】
（1）中，∵sinαcosα=sin2α≤恒成立，故∃α∈R，使sinαcosα=1成立为假命题；
（2）中当α=β=0时，tan（α+β）=tanα+tanβ成立，故∃α∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ成立为真命题；
（3）中当α、β或α+β的终边落中Y轴上时，无意义，故）∀α∈R，都有成立为假命题．
故正确命题的个数1个
故选C