Question

设x=3是函数f（x）=（的一个极值点．
①求a与b的关系式（用a表示b）；
②求f（x）的单调区间；
③设a＞0，g（x）=，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]，使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1成立．求a的取值范围．

Answer

①求出f′（x），因为x=3是函数f（x）的一个极值点得到f′（3）=0即可得到a与b的关系式；
②令f′（x）=0，得到函数的极值点，用a的范围分两种情况分别用极值点讨论得到函数的单调区间；
③由②知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，得到f（x）在区间[0，4]上的值域，又g（x）=在区间[0，4]上是增函数，求出g（x）=的值域，最大减去最小得到关于a的不等式求出解集即可．
【解析】
①f′（x）=-[x2+（a-2）x+b-a]e3-x，
由f′（3）=0，得-[32+（a-2）3+b-a]e3-3=0，即得b=-3-2a，
②则f′（x）=[x2+（a-2）x-3-2a-a]e3-x
=-[x2+（a-2）x-3-3a]e3-x=-（x-3）（x+a+1）e3-x．
令f′（x）=0，得x1=3或x2=-a-1，
由于x=3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠-4．
当a＜-4时，x2＞3=x1，则
在区间（-∞，3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在区间（3，-a-1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在区间（-a-1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
当a＞-4时，x2＜3=x1，则
在区间（-∞，-a-1）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
在区间（-a-1，3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在区间（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
③由②知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]，
而f（0）=-（2a+3）e3＜0，f（4）=（2a+13）e-1＞0，f（3）=a+6，
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[-（2a+3）e3，a+6]．
又g（x）=在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a2+，（a2+）e4]，
由于（a2+）-（a+6）=a2-a+=（a-）2≥0，
所以只须仅须（a2+）-（a+6）＜1且a＞0，
解得0＜a＜．
故a的取值范围是（0，）．