Question

已知圆O：x²+y²=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A、B．
（1）设b=f（k），求f（k）的表达式；
（2）若，求直线l的方程；
（3）若，求三角形OAB面积的取值范围．

Answer

（1）根据y=kx+b（b＞0）与圆x2+y2=1相切，可得，即可求f（k）的表达式；
（2）直线与椭圆方程联立，，利用韦达定理及，即可求得直线l的方程；
（3）确定，利用弦长公式，求|AB|，从而可求△OAB面积的取值范围．
【解析】
（1）∵y=kx+b（b＞0）与圆x2+y2=1相切，
∴，即b2=k2+1（k≠0），
∴…（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，消去y得：（2k2+1）x2+4kbx+2b2-2=0
又△=8k2＞0（∵k≠0），所以．…（6分）
则=．
由，所以k2=1．
∴b2=2．∵b＞0，∴，
∴．…（9分）
（3）由（2）知：．
∵，∴，∴，
由弦长公式得，所以，
设2k2+1=t，∴2≤t≤3，S=
∴．…（14分）