Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的首项a₁=2，S_n为其前n项和，若5S₁，S₃，3S₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，，记数列{c_n}的前n项和T_n．若对∀n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）由 5S1，S3，3S2成等差数列，依题意，可化简求得q=2，首项a1=2，从而可求得数列{an}的通项公式；
（2）依题意，可求得cn=-，从而可得Tn=，由≤k（n+4）可求得k≥，利用基本不等式即可求得k的取值范围．
【解析】
（1）∵5S1，S3，3S2成等差数列，
∴2S3=5S1+3S2…（1分）
即2（a1+a1q+a1q2）=5a1+3（a1+a1q），
化简得 2q2-q-6=0…（2分）
解得：q=2或q=-…（3分）
因为数列{an}的各项均为正数，所以q=-不合题意…（4分）
所以{an}的通项公式为：an=2n．…（5分）
（2）由bn=log2an得bn==n…（6分）
∴cn===-…（7分）
∴Tn=1-+-+…+-
=
=…（8分）
∵≤k（n+4）
∴k≥=…（9分）
=…-（11分）
∵n++5≥2+5=9，当且仅当n=，即n=2时等号成立------（12分）
∴≤ …（13分）
∴k的取值范围[，+∞）．…（14分）