Question

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（1）求证：DA⊥BC；
（2）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；
（3）求点A到平面BCD的距离．

Answer

（1）图1中，取AB得中点M，连接CM，则四边形ADCM为正方形，MB=2．可得CM⊥AB，CM=2，利用勾股定理得CB=．从而AC2+BC2=AB2，可得AC⊥BC．已知平面ADC⊥平面ABC，利用面面垂直的性质定理可得BC⊥平面ADC，进而得到结论；
（2）取CD的中点F，连接EF，BF．利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（3）利用（1）及已知可得AD⊥平面BCD．因此AD就是所求．
【解析】
（1）在图1中，取AB得中点M，连接CM，则四边形ADCM为正方形，MB=2．
∴CM⊥AB，CM=2，∴CB=．
又AC=．
∴，
从而AC2+BC2=AB2，
∴AC⊥BC．
∵平面ADC⊥平面ABC，面ADC∩面ABC=AC，BC⊂面ABC．
∴BC⊥平面ADC又AD⊂面ADC．
∴BC⊥DA．
（2）取CD的中点F，连接EF，BF．
在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，
∴EF为△ACD的中位线，
∴AD∥EFEF⊆平面EFBAD⊄平面EFB，
∴AD∥平面EFB．
（3）由（1）可得：BC⊥AD，又AD⊥DC，DC∩BC=C，
∴AD⊥平面BCD．
∴AD就是点A到平面BCD的距离，即为AD=2．