Question

已知两数列{a_n}，{b_n}（其中b_n＞0，且b_n≠1），满足且
（I）求证：a_n＞b_n
（II）求证：数列{a_n}的单调递减且．

Answer

（I）先证bn＞1．由bn＞0，bn≠1，利用基本不等式的性质即可得到；再利用数学归纳法证明an＞bn即可；
（II）通过作差并利用（I）的结论即可证明单调性，再利用放缩法即可证明．
证明：（I）先证bn＞1．∵bn＞0，bn≠1，∴=1，又，∴bn＞1．
再证an＞bn．①；
②假设m=k时命题成立，即ak＞bk＞1，
则ak+1-bk+1=＞=0．
∴ak+1＞bk+1
所以n+k+1时命题也成立．
综合①②可得ak＞bk．
（II）an+1-an==，
∵bn＜an，∴，an＞1，∴an+1-an＜0．
故数列{an}单调递减．
∵，
∴…＜．
又a1-1=1，∴，
即．