Question

平面内动点M（x，y），=（x-2，），=（x+2，）且•=0
（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分别交x、y轴于点A、B，交曲线E于点C、D，且
①求k的值；
②若点N（，1），求△NCD面积取得最大时直线l的方程．

Answer

（I）设动点M（x，y）．根据数量积运算即可得出；
（II）①在l：y=kx+m中分别令x=0，y=0可得B，A的坐标，设C（x1，y1），D（x2，y2），把直线l的方程与椭圆的方程联立得到判别式△及根与系数的关系，利用即可求得k的值．②根据弦长公式和点到直线的距离公式即可得到△NCD的面积，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解析】
（Ⅰ）设动点M（x，y）．
∵，∴，
化为，即为点M的轨迹E的方程．
（Ⅱ）①在l：y=kx+m中分别令x=0，y=0可得B（0，m），A．
设C（x1，y1），D（x2，y2），
由得到（1+2k2）x2+4mkx+2m2-4=0，
△=16m2k2-4（1+2k2）（2m2-4）=32k2-8m2+16，
，．
∵，∴，∴，
又m≠0，化为4k2=1+2k2，，
∵k＞0，∴．
②|CD|===．
点N到CD的距离=．
∴===≤．
当且仅当4-m2=m2时等号成立，即m2=2，解得．，此时△＞0，
所以直线的方程为l：．