Question

已知各项都不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且，a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：．

Answer

（1）利用an=Sn-Sn-1（n≥2）即可得到an+1-an-1=2．分n为奇数和偶数讨论即可得到an；
（2）利用（1）通过放缩，利用“裂项求和”即可证明．
（1）【解析】
∵，①
∴，②
①-②得
∵an≠0，∴an+1-an-1=2．
数列{an}的奇数项组成首项为a1=1，公差为2的等差数列；偶数项组成首项为a2，公差为2的等差数列．
∵a1=1，∴，
∴a2n-1=1+（n-1）×2=2n-1，a2n=2+（n-1）×2=2n．
∴数列{an}的通项公式为an=n．（n∈N*）；
（2）证明：当n≥3时，，则

当n=1时，；  当n=2时，；
∴．