Question

已知抛物线和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求抛物线和双曲线标准方程；
（2）已知动直线m过点P（3，0），交抛物线于A，B两点，记以线段AP为直径的圆为圆C，求证：存在垂直于x轴的直线l被圆C截得的弦长为定值，并求出直线l的方程．

Answer

（1）设抛物线的方程为 y2=2px（p＞0），把点M（1，2）代入求得p的值，即可求得抛物线的方程．对于双曲线，由焦点坐标求得c的值，由双曲线的定义求得a，从而求得b的值，从而求得双曲线的标准方程．
（2）由题意可得，AP的中点为C，设A（x1，y1），则C（，）．设D、E是圆C上的两个点，且DE垂直于x轴，DE的中点为H，点D（x2，y2），则H（x2，y3），求得|DC|和|CH|、|DH|2，可得当x2=2时，|DH|2=2，故弦长为|DE|=2|DH|=2 为定值，由此可得结论
【解析】
（1）设抛物线的方程为 y2=2px（p＞0），把点M（1，2）代入求得p=2，
∴抛物线的方程为  y2=4x，焦点坐标为F1（1，0）．
对于双曲线，一个焦点坐标为F1（1，0），则另一个焦点坐标为F2（-1，0），
故c=1，2a=||MF1|-|MF2||=2-2，∴a=-1，∴b2=c2-a2=2-2．
故双曲线的标准方程为 ．
（2）由题意可得，AP的中点为C，设A（x1，y1），则C（，）．
设D、E是圆C上的两个点，且DE垂直于x轴，DE的中点为H，点D（x2，y2），则H（x2，y3），
|DC|=|AP|=，|CH|=|-x2|=|（x1-2x2）+3|，
|DH|2=|DC|2-|HC|2=[+]-=（x2-2）x1-+3x2 
由x2的任意性可得，当x2=2时，|DH|2=-4+6=2，故弦长为|DE|=2|DH|=2 为定值．
故存在垂直于x轴的直线l（即直线DE），倍圆截得的弦长为定值，直线l的方程为 x=2．