Question

已知函数f（x）=2ae^x+1，g（x）=lnx-lna+1-ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f（x）的图象与坐标轴交点处的切线为l₁，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l₂，且l₁∥l₂．
（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式成立，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x）-g（x）|的值称为两函数在x处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．

Answer

（Ⅰ）分别求得切点处的导数值，可得方程，进而可得a值，不等式可化为m＜x-，令h（x）=x-，求导数可得函数h（x）在[1，5]上是减函数，从而可得m＜h（5）即可；
（Ⅱ）可得a=，进而可得|f（x）-g（x）|=|ex-lnx|，通过构造函数q（x）=ex-x-1，可得ex-1＞x    …①，构造m（x）=lnx-x+1，可得lnx+1＜x…②，由①②得ex-1＞lnx+1，即ex-lnx＞2，还可得ex＞lnx，综合可得结论．
【解析】
（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，2a+1），
又f′（x）=2aex，∴f′（0）=2a，
函数y=g（x）的图象与直线y=1的交点为（2a，1），
又g′（x）=，g′（2a）=
由题意可知，2a=，即a2=
又a＞0，所以a=…（3分）
不等式可化为m＜x-f（x）+
即m＜x-，令h（x）=x-，则h′（x）=1-（）ex，
∵x＞0，∴≥，
又x＞0时，ex＞1，∴（）ex＞1，故h′（x）＜0
∴h（x）在（0，+∞）上是减函数
即h（x）在[1，5]上是减函数
因此，在对任意的x∈[1，5]，不等式成立，
只需m＜h（5）=5-，
所以实数m的取值范围是（-∞，5-）…（8分）
（Ⅱ）证明：y=f（x）和y=g（x）公共定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）可知a=，
∴|f（x）-g（x）|=|ex-lnx|
令q（x）=ex-x-1，则q′（x）=ex-1＞0，
∴q（x）在（0，+∞）上是增函数
故q（x）＞q（0）=0，即ex-1＞x    …①
令m（x）=lnx-x+1，则m′（x）=，
当x＞1时，m′（x）＜0；当0＜x＜1时，m′（x）＞0，
∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②
由①②得ex-1＞lnx+1，即ex-lnx＞2
又由①得ex＞x+1＞x
由②得lnx＜x-1＜x，∴ex＞lnx
∴|f（x）-g（x）|=ex-lnx＞2
故函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2…（13分）