Question

如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD．AB∥CD，PD=AD，F是DC上的点且为△PAD中AD边上的高．
（Ⅰ）求证：AB∥平面PDC；
（Ⅱ）求证：PH⊥BC；
（Ⅲ）线段PB上是否存在点E，使EF⊥平面PAB？说明理由．

Answer

（Ⅰ）由已知AB∥CD，利用线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用AB⊥平面PAD，得到平面PAD⊥平面ABCD．再利用面面垂直的性质定理即可证明；
（Ⅲ）线段PB上存在点E，使EF⊥平面PAB．分别取PA、PB的中点G、E，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理和性质定理即可得到EF∥DG，l利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明GD⊥平面PAB．从而得到EF⊥平面PAB．
（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，且AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AB∥平面PDC．
（Ⅱ）证明：∵AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD．
∵PH⊥AD，
∴PH⊥平面ABCD，
∴PH⊥BC．
（Ⅲ）【解析】
线段PB上存在点E，使EF⊥平面PAB．
证明如下：
如图，分别取PA、PB的中点G、E，
则，
由，
∴．
∴EFGD为平行四边形，故EF∥GD，
∵AB⊥平面PAD，∴AB⊥GD．
∵G为PA的中点，且PD=AD．
∴GD⊥PA．
∵PA∩AB=A，∴GD⊥平面PAB．
∴EF⊥平面PAB．