Question

已知椭圆的离心率为，F₁，F₂为椭圆G的两个焦点，点P在椭圆G上，且△PF₁F₂的周长为．
（Ⅰ）求椭圆G的方程
（Ⅱ）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若（O为坐标原点），求证：直线l与圆相切．

Answer

（Ⅰ）由已知得，且2a+2c=4+4，联立方程组解出即得a，c，再由b2=a2-c2求得b值；
（Ⅱ）由题意可知，直线l不过坐标原点，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞y2），分情况讨论：（ⅰ）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=m（m≠0）且-2＜m＜2，联立直线方程与椭圆方程易求A，B坐标，由得x1x2+y1+y2=0，可求m，从而易判断直线与圆垂直；（ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及x1x2+y1+y2=0可得k，m的方程①，根据点到直线的距离公式可表示圆心O到l的距离d，结合①式可求得d值，其恰好等于半径r；
（Ⅰ）【解析】
由已知得，且2a+2c=4+4，
解得a=2，c=2，
又b2=a2-c2=4，
所以椭圆G的方程为；
（Ⅱ）证明：由题意可知，直线l不过坐标原点，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞y2），
（ⅰ）当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=m（m≠0）且-2＜m＜2，
则x1=m，，x2=m，，
∵，∴x1x2+y1+y2=0，
∴，解得，
故直线l的方程为，
因此，点O（0，0）到直线l的距离为d=，
又圆的圆心为O（0，0），半径r==d，
所以直线l与圆相切；
（ⅱ）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，
由 得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
∴，，
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==，
∵，∴x1x2+y1y2=0，
故+=0，即3m2-8k2-8=0，3m2=8k2+8，①
又圆的圆心为O（0，0），半径r=，
圆心O到直线l的距离为d=，
∴==②，
将①式带入②式得
=，
所以d==r，
因此，直线l与圆相切．