Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D，E分别为CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACB；
（Ⅱ）求A₁B与平面ABD所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）求证直线DE平行于平面ABC，可利用线面平行的判定定理，因此想到在平面ABC内找到一条与DE平行的直线即可，根据E为A1B的中点，所以可取AB的中点F，根据三角形中位线知识证出四边形DEFC为平行四边形，从而得到DE∥CF，则问题得证；
（Ⅱ）连接DF，在平面EFD内过E作EH⊥DF于H，通过证明AB垂直于平面EFD得到AB⊥EH，从而说明EH垂直于平面ABD，得到∠EBH为A1B与平面ABD所成角，在直角三角形EHB中可求该角的正弦值．
（Ⅰ）证明：如图，取AB中点F，连接EF，FC，
又因为E为A1B的中点，
所以EF∥A1A，，
又DC∥A1A，
所以四边形DEFC为平行四边形
则ED∥CF，因为ED⊄平面ABC，FC⊂平面ABC，
所以ED∥平面ABC；
（Ⅱ）【解析】
过E作EH⊥DF于H，连结HB，
由CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以CC1⊥AB，
由AC=BC，AF=FB，所以AB⊥CF，
又CF∩CD=C，CF，CD⊂平面DEFC，
所以AB⊥平面DEFC，EH⊂平面DEFC，所以AB⊥EH，
又EH⊥DF，DF∩AB=F，AB，DF⊂平面ABD，所以EH⊥平面ABD，
所以∠EBH为A1B与平面ABD所成角的平面角，
因为H为△ABD的重心，在Rt△DEF中，
所以得，
得，所以A1B与平面ABD所成角的正弦值为．