Question

已知动点P在以F₁（0，）、F₂（0，-）为焦点的椭圆上C，且cos∠F₁PF₂的最小值为0，直线l与y轴交于点Q（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且
（1）求椭圆C的方程；
（2）实数m的取值范围．

Answer

（1）由已知可知c2的值，设出椭圆的长轴长，在三角形F1PF2中，利用余弦定理求出cos∠F1PF2的最小值，由最小值等于0求出a2的值，从而求出b2的值，则椭圆的方程可求；
（2）由题意知直线l的斜率存在，且不等于0，设出直线l的方程，和椭圆联立后保证判别式大于0，再利用列式找到直线的斜率k和m的关系，代入判别式后即可求解m的取值范围．
解（1）由题意．设|PF1|+|PF2|=2a（），由余弦定理，
得
=
==．
又|PF1|•|PF2|，
当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|•|PF2|取最大值，
此时cos∠F1PF2取最小值，
令，
解得a2=1，∵，∴，
故所求P的轨迹方程为．即y2+2x2=1；
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），l与椭圆C的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0．
则△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）＞0．
，，
因为，所以-x1=3x2，所以，
所以，即k2（4m2-1）+（2m2-2）=0
当时，上式不成立；
当时，；
把代入△=4（k2-2m2+2）＞0，
得：．
解得m的取值范围为．