Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F₂，点F₁与F₂关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴（垂足为T），与抛物线交于不同的两点P、Q且．
（I）求点T的横坐标x；
（II）若以F₁，F₂为焦点的椭圆C过点．
①求椭圆C的标准方程；
②过点F₂作直线l与椭圆C交于A，B两点，设，若的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意得到F1和F2的坐标，设出P，Q的坐标，然后直接利用进行求解；
（Ⅱ）①设出椭圆标准方程，利用椭圆过点，结合a2=b2+1 即可求得a2，b2的值，则椭圆方程可求；
②当直线斜率不存在时，直接求解A，B的坐标得到的值，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立后，利用，消掉点的坐标得到λ与k的关系，根据λ的范围求k的范围，然后把转化为含有k的函数式，最后利用基本不等式求出的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）如图，

由题意得F2（1，0），F1（-1，0），设P（x，y），则Q（x，-y），
则，．
由，
得，即  ①
又P（x，y）在抛物线上，则  ②
联立①、②得，，解得：x=2．
所以点T的横坐标x=2．
（Ⅱ）（ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意得c=1，
设椭圆C的标准方程为，
因椭圆C过点，
则  ③
又a2=b2+1  ④
将④代入③，解得b2=1或（舍去）
所以a2=b2+1=2．
故椭圆C的标准方程为．
（ⅱ）1）当直线l的斜率不存在时，即λ=-1时，，，
又T（2，0），所以；
2）当直线l的斜率存在时，即λ∈[-2，-1）时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
由，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），显然y1≠0，y2≠0，则由根与系数的关系，
可得：，．
  ⑤
  ⑥
因为，所以，且λ＜0．
将⑤式平方除以⑥式得：
由λ∈[-2，-1），得，即．
故，解得．
因为，所以，
又，
故
=．
令，因为，所以，即，
所以．
所以
综上所述：．