Question

等比数列{c_n}满足的前n项和为S_n，且a_n=log₂c_n．
（I）求a_n，S_n；
（II）数列的前n项和，是否存在正整数m，（m＞1），使得T₁，T_m，T_6m成等比数列？若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由已知结合等比数列的性质可求q=，然后利用已知递推公式，令n=1可求c1，从而可求cn，进而可求an，由等差数列的求和公式可求sn
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用裂项求和可求Tn，然后假设存在正整数m（m＞1）满足题意，则由等比数列的 性质可建立关于m的方程，求解即可
【解析】
（Ⅰ）c1+c2=10，c2+c3=40，
所以公比q==4…（2分）
由c2+c1=c1+4c1=10得c1=2
所以…（4分）
所以…（5分）
由等差数列的求和公式可得，…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
于是…（8分）
假设存在正整数m（m＞1），使得T1，Tm，T6m成等比数列，
则，…（10分）
整理得4m2-7m-2=0，
解得或 m=2
由m∈N*，m＞1，得m=2，
因此，存在正整数m=2，使得T1，Tm，T6m成等比数列    …（12分）