Question

已知函数f（x）=x³-3ax（a∈R），g（x）=lnx．
（1）当a=1时，求y=g（x）-f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求a的取值范围；
（3）设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer

（1）把a=1代入f（x），得到函数y=g（x）-f（x）的解析式，求出x=1时对应点的坐标，求出f′（1），利用点斜式写出切线方程；
（2）把在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方转化为x3-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立，把参数a分离出后构造函数g（x）=，利用导函数求该函数的最小值，则a的范围可求；
（3）经分析可知函数h（x）为偶函数，求函数在[-1，1]上的最大值可转化为求函数在[0，1]上的最大值，当a小于等于0时函数f（x）[0，1]上恒大于0且单调递增，问题极易解决，当a大于0时，求出函数f（x）的导函数的零点，根据a的具体范围分段，然后利用导函数的符号得到原函数的单调性，从而得到函数h（x）的最大值情况．
【解析】
（1）当a=1时，y=g（x）-f（x）=lnx-x3+3x，
当x=1时，y=ln1-13+3×1=2．
，y′|x=1=1．
所以切线方程为y-2=x-1，即x-y+1=0；
（2）∵在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，
∴x3-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立，得在[1，2]上恒成立．
设g（x）=，则，
∵2x3-1≥0，lnx≥0，∴g′（x）≥0，∴g（x）min=g（1）=1，
∴；
（3）因h（x）=|f（x）|=|x3-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值．
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，
∴h（x）=f（x），F（a）=f（1）=1-3a．
②当a＞0时，，
（ⅰ）当，即a≥1时，h（x）=|f（x）|=-f（x），
-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）当，即0＜a＜1时，f（x）在[0，]上单调递减，在单调递增；
1°当f（1）=1-3a≤0，即时，
h（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，]上单调递增，在单调递减，；
2°当f（1）=1-3a＞0，即时，
（ⅰ）当，即0＜a时，F（a）=f（1）=1-3a．
（ⅱ）当，即时，．
综上  ．