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已知椭圆的离心率为,且过点,记椭圆的左顶点为A. (1)求椭圆的方程; (2)设...

已知椭圆manfen5.com 满分网的离心率为manfen5.com 满分网,且过点manfen5.com 满分网,记椭圆的左顶点为A.
(1)求椭圆的方程;
(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B,C两点,试求△ABC面积的最大值;
(3)过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于D,E两点,且k1k2=2,求证:直线DE恒过一个定点.

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(1)根据椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且过点P(),建立方程,求出几何量,从而可得椭圆C的方程; (2)设B(m,n),C(-m,n),则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|,利用基本不等式可求△ABC面积的最大值; (3)设AB、AC的方程,代入椭圆方程可求B、C的坐标,从而可得直线BC的方程,整理并令y=0,即可证得直线BC恒过定点. (1)【解析】 ∵椭圆的离心率为,且过点, ∴,解得, 所以椭圆C的方程为x2+2y2=1…4分 (2)【解析】 设B(m,n),C(-m,n),则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|,…6分 又|m|•|n|,所以|m|•|n|,当且仅当时取等号…8分 从而S△ABC≤,即△ABC面积的最大值为…9分 (3)证明:因为A(-1,0),所以AD:y=k1(x+1),AE:y=k2(x+1), 由,消去y,得,解得x=-1或x=, ∴ 同理E() ∵k1k2=2,∴…12分 ∴直线DE的方程为, 即y-,即y=…14分 所以, 则由,得直线DE恒过定点…16分.
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考点分析:
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