Question

已知F₁，F₂是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，点在椭圆上，线段PF₂与y轴的交点M满足，⊙O是以F₁F₂为直径的圆，一直线L：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A，B
（1）求椭圆的标准方程．
（2）当，且满足时，求△AOB的面积S的取值范围．

Answer

（1）由=，知OM是△PF1F2的中位线，由OM⊥F1F2，知PF1⊥F1F2，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）由圆O与直线l相切，知，联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由直线l与椭圆交于两个不同点，得到k2＞0，由此能推导出△AOB的面积S的取值范围．
【解析】
（1）∵=，
∴点M是线段PF2的中点，
∴OM是△PF1F2的中位线，
又∵OM⊥F1F2，∴PF1⊥F1F2，
∴，解得a2=2，b2=1，c2=1，
∴椭圆的标准方程为．
（2）∵圆O与直线l相切，∴，即m2=k2+1，
联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同点，∴△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-2）＞0，
∴k2＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1•x2=，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）
=
=，
=x1x2+y1y2=，
∴，
∴，
S=S△ABO=
=
=
=，
 设u=k4+k2，则，S=，u∈[]，
∵S关于u在[，2]单调递增，S（）=，S（2）=，
∴．