Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

Answer

（I）根据菱形的性质可得ACAC⊥BD，根据线面垂直的性质可得PA⊥BD，综合线面垂直的判定定理可得BD⊥平面PAC
（II）以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出PB与AC的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．
（III）分别求出平面PBC与平面PDC的方向向量，根据平面垂直则其法向量也垂直，构造方程，求出参数值，可得PA的长．
证明：（I）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD，
又∵PAPAPAPAPAPA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC
所以BD⊥平面PAC． …4分
【解析】
（Ⅱ）设AC∩BD=O．
因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=CO=．
如图，以O为坐标原点，OB、OC所在直线及过点O且与PA平行的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，则
P（0，-，2），A（0，-，0），B（1，0，0），C（0，，0）．
所以=（1，，-2），=（0，2，0）．
设PB与AC所成角为θ，则 cosθ===． …8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知=（-1，，0）．
设P（0，-，t） （t＞0），则=（-1，-，t）．
设平面PBC的法向量=（x，y，z），则•=0，•=0．
所以
令y=，则x=3，z=，
所以m==（3，，），．
同理，可求得平面PDC的法向量=（3，-，），．
因为平面PBC⊥平面PDC，所以•=0，即-6+=0．解得t=．
所以当平面PBC与平面PDC垂直时，PA=． …12分