Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁=BC，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（3）在CC₁上是否存在一点E，使得∠BA₁E=45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A₁BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质、线面平行的判定定理即可得出；
（2）利用直棱柱的性质、正方形的性质、线面垂直的判定和性质定理即可证明；
（3）利用面面垂直的判定定理即可证明．
证明：（1）连接AB1与A1B相较于点M，连接MD，则点M为AB1的中点．
又D为AC的中点，由三角形的中位线定理可得：MD∥B1C．
又∵B1C⊄平面A1BD，MD⊂平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD；
（2）∵AB=B1B，及直三棱柱ABC-A1B1C1中，
∴四边形ABB1A1为正方形，BB1⊥B1C1．
∴A1B⊥AB1．
又AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B，
又AB1∩AC1=A．
∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1．
∵A1B∩BB1=B，∴B1C1⊥平面ABB1A1．
（3）设AB=a，CE=x，∵B1C1⊥A1B1，在Rt△A1B1C1中，有，同理，∴C1E=a-x．
∴=，，
∴在△A1BE中，由余弦定理得，
即a2+x2=2a2+x2+3a2-2ax-．
∴，
∴，即E是C1C的中点．
∵D、E分别为AC、C1C的中点，∴DE⊥AC1．
∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD．
又DE⊂平面BDE，∴平面A1BD⊥平面BDE．