Question

已知a∈R，函数（其中e为自然对数的底）．
（1）当a＞0时，求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直？若存在求出x的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）得出f′（x）==，利用函数单调性与导数的关系寻求f（x）在区间（0，e]上单调性，得出最小值．
（2）曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直，等价于g′（x）=0有实数根．g′（x）=•ex+（lnx-1）ex+1=（+lnx-1）ex+1其中括号内部分正好为当a=1时，，利用（1）的结论，得出g′（x）＞0，所以方程g′（x）=0无实数根，故不存在．
【解析】
（1）∵∴f′（x）==，令f′（x）=0得，x=a，
①若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，当x∈（a，e）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e）上单调递增，
所以当x=a时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna．
②若a≥e，则f′（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，所以当x=e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值．；
综上所述，当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值lna，当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上取得最小值．；
（2）不存在．证明如下
，x∈（0，e]，
∴g′（x）=•ex+（lnx-1）ex+1=（+lnx-1）ex+1
由（1）知，当a=1时，，此时f（x）在区间（0，e]上取得最小值ln1=0，即，而ex＞0，所以g′（x）≥1＞0，
又曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直，等价于g′（x）=0有实数根，而g′（x）＞0，所以方程g′（x）=0无实数根，
故不存在实数x∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x处的切线与y轴垂直．