Question

在三棱锥P-ABCD中，底面ABC为直角三角形，AB=BC，PA=2AB，PA⊥平面ABC．
（1）证明：BC⊥PB；
（2）求PB与平面PAC所成的角；
（3）求二面角A-PC-B的余弦值．

Answer

（1）由△ABC为直角三角形，AB=BC，知AB⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，知PA⊥BC，BC⊥平面PAB，由此能够证明BC⊥PB．
（2）作AC中点D，连接BD，PD，由AB=BC，知BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，知BD⊂平面ABC，由此能求出PB与平面PAC所成的角．
（3）作BE⊥PC，交PC于点E，连接DE，由（2）知∠BED为二面角A-PC-B的平面角，由此能求出二面角A-PC-B的余弦值．
（1）证明：∵△ABC为直角三角形，AB=BC，
∴AB⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，
∵PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB．
（2）【解析】
作AC中点D，连接BD，PD，
∵AB=BC，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，∴BD⊂平面ABC，
∴BD⊥PA，∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∴∠BPD为PB与平面PAC所成的角，记∠BPD=θ，
令AB=1，得PA=2，BC=1，
∴PB=，BD=，
∴，
∴．
（3）【解析】
作BE⊥PC，交PC于点E，连接DE，
由（2）知∠BED为二面角A-PC-B的平面角，
∴PC=，BE=，
∴sin∠BED==，
∴cos∠BED=．